近日，物理海洋教育部重点实验室在Machine Learning: Science and Technology（《机器学习：科学与技术》）期刊发表题为“Robust prediction of chaotic systems with random errors using dynamical system deep learning” (《利用动力系统深度学习对具有随机误差的混沌系统进行稳健预测》) 的最新研究成果，该研究建立了噪声条件下动力系统深度学习(DSDL)模型，通过对比当代水平的机器学习方法和动力方法，DSDL表现出优越的预测精度和稳定性，有效削弱了混沌系统预测中观测误差的影响。该成果由实验室/海洋与大气学院在读博士生武子翔为第一作者，“筑峰人才工程”第一层次李建平教授为通讯作者的科研团队合作完成。

　　现实世界中，混沌系统的观测数据不可避免地受到随机误差的影响。由于混沌系统的高度非线性和敏感性特点，随机误差的存在给其预测研究带来了重大挑战。所以，在混沌系统预测中削弱随机误差的影响是一个重要且困难的现实问题。李建平教授团队近年来提出了DSDL理论与方法，为解决“黑匣子”问题，即传统深度学习方法缺乏可解释性，提供了新的视角，已在有限维和无穷维非线性混沌系统预测中取得重要进展。而DSDL模型在削弱随机误差的影响方面的性能如何也是科研团队关注的重要科学问题。

　　本研究在DSDL已有理论框架上，首次引入前人提出的噪声条件下的延迟嵌入定理，奠定DSDL在具有观测误差情景下的理论可行性。在具体的理论数值试验中，首先对比了DSDL与当代机器学习方法的预测结果，结果显示DSDL在随机误差条件下具有优越的去噪能力和预测能力 (图1)，并且相较于其他深度学习方法，随着误差幅度的减小，DSDL方法的优势愈发显著 (图2)，这说明观测精度的提升有利于DSDL更加有效地从时间序列中深度挖掘混沌系统的时序演化特征，从而具备卓越的预测性能。此外，不同于当前主流深度学习方法，DSDL仅需调整少量参数即可完成模型训练，不需要繁琐的超参数优化，这也是DSDL的一个优越之处。

图1：在随机误差条件下，DSDL与当代机器方法预测能力的对比

图2：随机误差对不同深度学习方法预测能力的影响对比

　　研究还将DSDL与以往具有代表性的动力学方法（如数值求解方法RK4、动力模态分解的一种变体LANDO等）进行了对比。结果也表明，基于相空间动力重构框架的DSDL在预测含噪声的混沌系统时展现出更强的鲁棒性(图3和图4)。值得一提的是，DSDL仅通过观测数据即可构建高精度的动力预测模型，无需原始控制方程的先验信息，从而有效避免了已知方程中模型误差可能带来的干扰。

图3：在Lorenz系统中，随机误差对DSDL与RK4两种方法求解能力的影响

图4：随机误差对DSDL与LANDO两种方法预测能力的影响

　　上述研究表明DSDL理论在混沌系统预测中的优越性和稳健性，指出当代数据驱动方法在削弱观测误差影响上的不足，展现了DSDL对观测数据中动力信息的深度挖掘能力，为未来大气、海洋等多个现实混沌系统的预测研究奠定了基础。研究工作得到国家自然科学基金基础科学中心项目 (42288101)、崂山实验室科技创新项目 (LSKJ202202600) 和山东省自然科学基金重大基础研究项目 (ZR2019ZD12) 等联合资助。

文章引用：

WU Z. -X., J. -P. Li*, H. Li, M. -Y. Wang, N. Wang, and G. -C. Liu, 2025: Robust Prediction of Chaotic Systems with Random Errors using Dynamical System Deep Learning. Machine Learning: Science and Technology, 6, 025009, https://doi.org/10.1088/2632-2153/adc873.